深度学习系列（1）：感知机
前言
小论文总算告一段落了，近期开始深度学习了，跟着Hinton神经网络公开课边看边总结。视频参考链接如下：https://www.coursera.org/，搜索Neural Networks for Machine Learning即可找到资源。部分有中文翻译，当然也可以参考hankcs神犇关于Hinton神经网络的总结，参考链接如下：http://www.hankcs.com/ml/
思考
- 感知机是什么？
- 感知机如何实现？
- 感知机的优缺点？
感知机是什么？
大背景：给定输入，求得输出。中间需要一种模型来表达这种映射关系，于是有了： 输入 -> 模型（映射） -> 输出。
模型有很多，机器学习中有诸如SVM，DT，HMM等，这里我们只讨论神经网络的基础模型：感知机（perceptron）。
以下内容参考博文： http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#_label1
1943年，McCulloch和Pitts将上图的神经元结构用一种简单的模型进行了表示，构成了一种人工神经元模型，也就是我们现在经常用到的“M-P神经元模型”，如下图所示：
从上图M-P神经元模型可以看出，神经元的输出
其中θtheta为我们之前提到的神经元的激活阈值，函数f(⋅)f(·)也被称为是激活函数。如上图所示，函数f(⋅)f(·)可以用一个阶跃方程表示，大于阈值激活；否则则抑制。但是这样有点太粗暴，因为阶跃函数不光滑，不连续，不可导，因此我们更常用的方法是用sigmoid函数来表示函数函数f(⋅)f(·)。
sigmoid函数的表达式和分布图如下所示：
定义： 感知机（perceptron）是由两层神经元组成的结构，输入层用于接受外界输入信号，输出层（也被称为是感知机的功能层）就是M-P神经元。下图表示了一个输入层具有三个神经元（分别表示为x0、x1、x2）的感知机结构：
根据上图不难理解，感知机模型可以由如下公式表示：
y=f(wx+b)
y = f(wx + b)
其中，ww为感知机输入层到输出层连接的权重，b表示输出层的偏置。事实上，感知机是一种判别式的线性分类模型，可以解决与、或、非这样的简单的线性可分（linearly separable）问题，线性可分问题的示意图见下图：
Okay，以上内容均属于感知机的定义部分，问题是如何根据给定的｛输入集合｝和｛输出集合｝得到｛ww的集合｝？即如何学习？
感知机如何实现？
思路
根据限有参数ww（待求参数，未知）及给定的输入输出（已知）能够定义损失函数，以激活函数sigmoid为例：
其中满足：
我们的目标：需要求出给定集合w∗{w^*}，L(w∗)L(w^*) 取得最小值。如果有解析解可以直接求导代入求出每个w1,w2,⋯,wn{w_1, w_2, cdots, w_n}， 然这里并没有解析解，所以我们采用一种迭代的手段，即【梯度下降】。
梯度下降：
先看图，形象来说，由ww构成的L在三维空间内是一种曲面图，梯度是在当前点，如红色初始点往四周看下降最快的方向。有了这个方向，我们乘以一个学习率ηeta，就能让当前ww朝着地势较低的方向前进了。
所以更新规则有：
而下降的方向实际上表示的一个值，数学上是
，该值越大则地势越抖，走的也越快。所以在极值点时，导数为0，那么自然wiw_i不在更新，算法收敛，求得最优。但正如图中所示，在非凸函数中，梯度下降无法保证求出的解一定是全局最优，这是它缺点之一，其次ηeta学习率的选择也很重要，过大导致无法收敛，过小导致学习效率低，因此合理的，自适应的ηeta也就成为了研究的热点。
所以数学上只要求出
，就能写更新算法了。且收敛的条件可以用迭代次数或者参数L(w)L(w)的前后变化量控制。
感知机的弱点
问题1： 在Hinton神经网络公开课上，老爷子举了两个例子来说明感知机的弱点，第一个是关于XNOR的数据集：
得到参数向量必须满足的方程：
所以如果针对第一行有：
,针对第二行有：
，需要找到这样的阈值使得上述两个不等式着实有点困难呐。
还有一份《证：单层感知机不能表示异或逻辑》，参考链接如下：http://blog.csdn.net/panda07100/article/details/38580993
问题 2：
n×1n times 1的图片的模式识别，两种模式分别只有4个像素是黑色，其他都是白色，如下图：
同样，对于这样的wrap-pattern数据集，感知机也无法区分模式A和模式B，歪？
此处需要考虑概率了，白色格子代表xi=0x_i = 0
， 黑色格子代表
，所以对于
，仅存在4个权值有效，于是有
，那么问题来了，推广到wrap，且大数据集上，每个格子都有被选中的机会，就上图而言被选中的概率为：4 / 16，所以每个格子都有25%的概率取黑色，于是有了
，这就呵呵了，模式B也是
，那么借用问题1的证明思路，阈值也出现了矛盾，即感知机无法区分上述两种简单的pattern。
总结：
参考老爷子和hankcs对视频的翻译：
但如果你手工选取有效的特征的话，感知机框架仍然有效。比如增加一些feature unit识别sub pattern。所以感知机模式识别的关键在于手写特征detector，而不是机器学习。老爷子说这个弱点被过分解读，导致早期很多人认为感知机不好用，那么神经网络也不好用。 如果有办法训练特征识别模块的话，神经网络就好用了。我们不但要学习特征权重，还要学习特征表示。第二代神经网络其实全是关于特征表示的学习（早期的神经网络没有hidden unit层，特征是原始的）。 多个线性的隐藏层无济于事，整个模型依然是线性的。于是怎么有效地训练非线性hidden unit就成为关键问题。学习流入hidden units的weight其实就是学习feature。
